matemática números algébricos

A matéria de como definir os números reais não é simples. Alguns querem identificar os números reais com os pontos em uma linha. Mas isto não é satisfatório fora do reino da geometria. A melhor definição do problema parece ser reduzir o problema tomando um número real como a soma de um inteiro e números reais entre 0 e 1; isto é, o intervalo [0.1). Ou seja um número real é um inteiro e uma fração decimal. Os números reais no intervalo [0.1) são então seqüências infinitas dos dígitos com a provisão essa seqüências infinitas do formulário .500000…. e .4999999…. representar o mesmo número real. Assim os números reais dentro [0.1) são classes de equivalência de seqüências infinitas dos dígitos.

Uma outra maneira de descrever seqüências infinitas dos dígitos, {0.1.2,…, 9}, é como uma função dos inteiros naturais, {1.2,….}, ao jogo dos dígitos ({0.1.2,…, 9}. O cardinality deste jogo das funções é
10^₀, 10 raised to the power ₀. Este cardinality é equivalente a 2 levantados para o poder ₀, que é a respresentação usual da ordem da série contínua. O fato de que há duas respresentações de toda a fração decimal de terminação não afeta o cardinality de todo.

Os números racionais entre os reals não são apenas aqueles que terminam em uma corda infinita de 0 ou de 9. Todo o número real que envolver a repetição de um bloco de dígitos além de algum ponto é um racional. Por exemplo, 0.33333… são 1/3. Também, 0.142857142857…. são 1/7.

Para estabelecer esta proposição no general supr que nós temos um número de formulário 0.abbb… onde a é corda de dígitos de p e b é uma corda de dígitos de q. Então este número é

ax10^-p+10^-p[bx10^-q+bx10^-2q+bx10^-q+...] =
a/10^p + (b/10^p)(1/10^q)[1+1/10^q+(1/10^q)²+...] =
a/10^p + (b/10^p)(1/10^q)/[1-1/10^q] =
a/10^p + (b/10^p)/[10^q-1] =
a/10^p + b/(10^p+q-10^p). ...........................